Wlancards.ru

ПК техника, WI FI Адаптеры
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Калькулятор корней онлайн — извлечения, свойства, особенности, таблица вычислений

Калькулятор корней онлайн — извлечения, свойства, особенности, таблица вычислений

Онлайн-калькулятор – удобный ресурс, помогающий решать задачи, примеры, в котроых встречаются квадратные или степенные корни. Чтобы правильно извлекать корни уравнения онлайн, важно хорошо знать терминологию, основные математические понятия. Что такое квадратный корень – это процесс, обратный возведению натурального числа в квадрат (перемножению числа или понимаемого под ним математического объекта на самое себя).

Что такое иррациональное число?

Так что же такое иррациональное число? Возможно, вы уже знакомы с двумя очень известными иррациональными числами: π или «pi», которое почти всегда сокращается до 3.14, но фактически продолжается бесконечно справа от десятичной точки; и «е», то есть число Эйлера, которое обычно сокращается до 2.71828, но также продолжается бесконечно справа от десятичной точки.

Но существует гораздо больше иррациональных чисел, и вот простой способ определить некоторые из них: если число под знаком квадратного корня не является идеальным квадратом, то этот квадратный корень является иррациональным числом.

Это очень большой глоток, так что вот пример, чтобы прояснить это. Также полезно помнить, что идеальный квадрат — это число, квадратный корень которого является целым числом:

√8 иррациональное число? Если вы запомнили свои идеальные квадраты или нашли время для их поиска, вы будете знать, что √4 = 2 и √9 = 3. Поскольку √8 находится между этими двумя числами, но между 2 и 3 нет целых чисел чтобы быть его корнем, √8 иррационально.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

5x=20
5x :5 =20 :5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅ 4 =20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения .

Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения относительно знака равно, а в левую сторону и знаки у них поменяются на противоположные.
Теперь нужно все уравнение умножить на 5, чтобы в коэффициенте перед переменной x убрать из знаменателя 5.

Далее делим все уравнение на 3.

Читайте так же:
Можно ли клеить посуду суперклеем

3x :3 =45 :3
(3:3)x=15

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

Наверняка в повседневной жизни вы сталкивались с такой ситуацией, что вам нужно было извлечь корень числа или выполнить несколько других математических действий, чтобы произвести финансовые расчеты, например, при расчете доходности депозита в банке или того, насколько подходит Ипотечный кредит есть на условиях, но под рукой в то время не было обычного электронного калькулятора или специальной программы? В этом случае вам будет незаменим этот удобный и простой в использовании онлайн-калькулятор корня.

На нашем сайте есть онлайн-калькулятор корня. Вы можете вычислить математический корень любого числа. Здесь вы можете вычислить квадрат, кубик и корень любой другой степени (включая дробные степени!). На числа тоже нет ограничений, они также поддерживают дроби. Приятного вам расчета! Этот сайт поможет школьникам, студентам колледжей и тем, кто ищет надежный онлайн-инструмент для извлечения квадратного корня. В школе эту тему изучают попутно, но в жизни иногда требуется выполнить самое быстрое и абсолютно правильное математическое задание.

Онлайн-калькулятор корня поможет вам вычислить корень любой степени и даст подробное решение как для арифметических, так и для алгебраических корней. Кроме того, этот калькулятор упрощает определение корня и дает подробное решение для четных корней отрицательного числа. Чтобы извлечь корень, введите два числа — основание (из которого извлекается корень) и степень. Онлайн-калькулятор корня извлечет корень. Степень может быть как положительной, так и отрицательной. Число, из которого следует извлечь корень, должно быть больше нуля.

Извлечение квадратного корня на калькуляторе — это удобная, доступная, быстрая и точная операция. Онлайн-калькулятор корня с решением на сайте покажет любое значение из указанного вами числа. Воспользуйтесь простой возможностью быстро вычислить значения из любых положительных чисел. Используйте этот калькулятор, чтобы найти корни положительных действительных чисел. Программа поможет вам найти в режиме онлайн как квадратные, так и кубические корни, а также корни любых других степеней.

Калькулятор алгебры с расширенными функциями. Удобный и простой инженерный калькулятор с богатым арсеналом возможностей для математических расчетов и при этом с приятным и интуитивно понятным интерфейсом.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Читайте так же:
Можно ли поставить конденсатор меньшей емкости

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Немного теории.

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Для таких уравнений ищут, как правило, только действительные корни.

Основной метод решения иррациональных уравнений — метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом следует иметь в виду, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень есть равносильное преобразование уравнения, а в чётную — НЕравносильное. Значит, основные принципиальные трудности связаны с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, когда из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни, а потому обязательна проверка всех найденных корней.

ПРИМЕР 1.
( sqrt[Large6normalsize] = sqrt[Large6normalsize] <2x-6>)

Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:
( x^2-5x = 2x-6 Rightarrow )
( x^2-7x +6= 0 Rightarrow )
( x_1=1, ; x_2=6 )
Проверка. «Хорошие» корни можно проверить непосредственной подстановкой в исходное уравнение. При x = 1 заданное уравнение принимает вид ( sqrt[Large6normalsize] <-4>= sqrt[Large6normalsize] <-4>), во множестве действительных чисел такое «равенство» не имеет смысла. Значит, 1 — посторонний корень, он появился по причине расширения ОДЗ уравнения после возведения в шестую степень. При х = 6 заданное уравнение принимает вид ( sqrt[Large6normalsize] <6>= sqrt[Large6normalsize] <6>) — это верное равенство.
Итак, уравнение имеет единственный корень: х = 6.
Ответ: х = 6

Введя новую переменную ( u=x^2-x), получим существенно более простое иррациональное уравнение:
( sqrt+sqrt = sqrt <2u+21>).
Возведём обе части уравнения в квадрат:
( (sqrt+sqrt)^2 = (sqrt<2u+21>)^2 Rightarrow )
( u+2 +2sqrtsqrt +u+7 = 2u+21 Rightarrow )
( sqrt <(u+2)(u+7)>= 6 Rightarrow )
( u^2+9u+14=36 Rightarrow )
( u^2+9u-22=0 Rightarrow )
( u_1=2, ; u_2=-11 )
Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение ( sqrt+sqrt = sqrt <2u+21>) показывает, что ( u_1=2 ) — корень уравнения, а ( u_2=-11 ) — посторонний корень.
Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение ( x^2-x=2 Rightarrow x^2-x-2=0 ), решив которое находим два корня: ( x_1=2, ; x_2=-1 )
Ответ: 2; -1.

Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в квадрат привело бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что уравнение легко сводится к квадратному. Действительно, умножим обе его части на 2:
( 2x^2 +6 -2sqrt <2x^2-3x+2>= 3x+12 Rightarrow )
( 2x^2 -3x +2 -2sqrt <2x^2-3x+2>-8 = 0 Rightarrow )

Введя новую переменную ( y=sqrt <2x^2-3x+2>), получим: ( y^2-2y-8=0 ), откуда ( y_1=4, ; y_2=-2 ). Значит, исходное уравнение равносильно следующей совокупности уравнений:
( left[begin sqrt <2x^2-3x+2>=4 \ sqrt <2x^2-3x+2>= -2 endright. )

Из первого уравнения этой совокупности находим: ( x_1=3<,>5; ; x_2=-2 ). Второе уравнение корней не имеет.

Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна исходному уравнению, причём второе уравнение этой совокупности корней не имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в уравнение ( sqrt <2x^2-3x+2>=4). Эта подстановка показывает, что оба найденных значения x являются корнями этого уравнения, а значит, и исходного уравнения.
Ответ: 3,5; -2.

Читайте так же:
Можно ли с карты пополнить киви кошелек

ПРИМЕР 4.
( 2x -5 +2sqrt +2sqrt +2sqrt= 48 )

Областью определения уравнения является луч ( [5; ; +infty) ). В этой области выражение ( sqrt ) можно представить следующим образом: ( sqrt = sqrtsqrt ). Теперь уравнение можно переписать так:
( x+x -5 +2sqrtsqrt +2sqrt +2sqrt -48 = 0 Rightarrow ) ( (sqrt)^2 +2sqrtsqrt +(sqrt)^2 +2(sqrt+sqrt) -48 = 0 Rightarrow ) ( (sqrt +sqrt)^2 +2(sqrt+sqrt) -48 = 0 )

Введя новую переменную ( y= sqrt +sqrt ), получим квадратное уравнение ( y^2+2y-48=0 ), из которого находим: ( y_1=6, ; y_2=-8 ). Таким образом, задача свелась к решению совокупности уравнений:
( left[begin sqrt +sqrt =6 \ sqrt +sqrt = -8 endright. )
Из первого уравнения совокупности находим ( x= left( frac<41> <12>right)^2 ), второе уравнение совокупности решений явно не имеет.

Проверка. Нетрудно проверить (подстановкой), что ( x= left( frac<41> <12>right)^2 ) — является корнем уравнения ( sqrt +sqrt =6 ). Но это уравнение равносильно исходному уравнению, значит, ( x= left( frac<41> <12>right)^2 ) — является корнем и исходного уравнения.
Ответ: ( x= left( frac<41> <12>right)^2 )

Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается удобным ввести две новые переменные.

ПРИМЕР 5.
( sqrt[Large4normalsize] <1-x>+ sqrt[Large4normalsize] <15+x>=2 )

Введём новые переменные: ( left u=sqrt[Large4normalsize] <1-x>\ v=sqrt[Large4normalsize] <15+x>endright. )

Тогда уравнение примет вид (u+v=2). Но для нахождения значений двух новых переменных одного уравнения недостаточно. Возведя в четвёртую степень обе части каждого из уравнений системы, получим:
( left u^4=1-x \ v^4= 15+x endright. )

Сложим уравнения последней системы: (u^4 +v^4 =16). Таким образом, для нахождения u, v мы имеем следующую симметрическую систему уравнений:
( left u+v=2 \ u^4 +v^4 =16 endright. )
Решив её, находим: ( left u_1=0 \ v_1 =2; endright. ) ( left u_2=2 \ v_2 =0 endright. )

Таким образом, исходное уравнение свелось к следующей совокупности систем уравнений: ( left sqrt[Large4normalsize] <1-x>=0 \ sqrt[Large4normalsize] <15+x>=2; endright. ) ( left sqrt[Large4normalsize] <1-x>=2 \ sqrt[Large4normalsize] <15+x>=0 endright. )

Решив эту совокупность, находим: (x_1=1, ; x_2=-15 )

Проверка. Проще всего проверить найденные корни непосредственной подстановкой в заданное уравнение. Проделав это, убеждаемся, что оба значения являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 1; -15.

ПРИМЕР 6.
( sqrt[Large3normalsize] <2x+1>+ sqrt[Large3normalsize] <6x+1>= sqrt[Large3normalsize] <2x-1>)

Возведём обе части уравнения в куб:
( 2x+1 + 3sqrt[Large3normalsize] <(2x+1)^2>cdot sqrt[Large3normalsize] <6x+1>+ 3sqrt[Large3normalsize] <2x+1>cdot sqrt[Large3normalsize] <(6x+1)^2>+6x+1 = 2x-1 Rightarrow ) ( 3sqrt[Large3normalsize] <2x+1>cdot sqrt[Large3normalsize] <6x+1>cdot (3sqrt[Large3normalsize] <2x+1>+ sqrt[Large3normalsize] <6x+1>) = -6x-3 )

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим сумму ( sqrt[Large3normalsize] <2x+1>+ sqrt[Large3normalsize] <6x+1>) на выражение ( sqrt[Large3normalsize] <2x-1>):
( 3sqrt[Large3normalsize] <2x+1>cdot sqrt[Large3normalsize] <6x+1>cdot sqrt[Large3normalsize] <2x-1>= -6x-3 Rightarrow )
( 3sqrt[Large3normalsize] < (2x+1)(6x+1)(2x-1) >= -2x-1 )
Возведём обе части в куб:
( (2x+1)(6x+1)(2x-1) = -(2x+1)^3 Rightarrow )
( (2x+1)((6x+1)(2x-1) + (2x+1)^2) =0 Rightarrow )
( 16x^2(2x+1) =0 Rightarrow )
( x_1= -0<,>5; ; x_2=0 )

Проверка. Подстановкой найденных значений x в исходное уравнение убеждаемся, что его корнем является только x = -0,5.
Ответ: -0,5.

При программировании микроконтроллеров разработчики иногда сталкиваются с проблемой вычисления квадратного корня. Например, данная операция требуется при выполнении быстрого преобразования Фурье или вычислении среднеквадратического значения сигнала.
В стандартной библиотеке Си – math.h, есть функция для вычисления квадратного корня sqrt(), которой при желании можно воспользоваться. Она работает с числами типа float, обеспечивает высокую точность результата, но требует для своей работы длительного времени. Для микроконтроллера AVR это порядка 3000 циклов тактовой частоты (проверено в компиляторе IAR на разных уровнях оптимизации).
Если к точности вычисления корня не предъявляются высокие требования, можно воспользоваться упрощенным алгоритмом, занимающим меньше места в памяти и выполняющим вычисления в несколько раз быстрее.

Читайте так же:
Мил ру личный кабинет гражданского персонала

Алгоритм выглядит так.

Как мне подсказали умные люди, алгоритм основан на итерационной формуле Герона.

где А – фиксированное положительное число, а X1 – любое положительное число.
Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе X1 быстро сходится к квадратному корню из числа А.

Ради интереса я переписал алгоритм в явном виде. Скомпилированный, он ничуть не потерял ни в быстродействии, ни в объеме. Объем даже на пару байтов уменьшился.

Недостатки приведенного кода в том, что он работает только с целыми 16-ти разрядными числами и при больших значениях аргумента вычисления становятся не точными. Правда, точность вычислений можно повысить, добавив еще несколько итераций, но за это естественно придется платить быстродействием.

Код занимает прядка 70 байт и выполняется

за 700 циклов. Данные получены в компиляторе IAR AVR при medium оптимизация по скорости.

Точность вычисления данного алгоритма можно оценить по приведенному ниже графику. Синий график построен по значениям, полученным c помощью библиотечной функции sqrt(), красный график по значениям функции root().

Сравнение двух функций извлечения квадратного корня

В ходе обсуждения моей заметки, те же самые умные люди подсказали еще один алгоритм вычисления квадратного корня.

50 байт, <200 циклов для IAR AVR с medium оптимизацией по скорости. Точность не оценивал.

Related items

  • Планировщик для микроконтроллера
  • Медианный фильтр
  • AVR4027: Трюки и советы по оптимизации Си кода для 8-и разрядных AVR микроконтроллеров. Ч.2
  • AVR4027: Трюки и советы по оптимизации Си кода для 8-и разрядных AVR микроконтроллеров. Ч.1
  • Что размещать в заголовочном файле .h?

Comments

подскажите пожалуйста как проделать это с переменной типа long?

80 байтов), — скорость выполнения (

1000 циклов для AVR).

Напишу как делаеться в AVR Studio. Пишеться код — компилим,смотри м сколько занял,добавляем функцию — и смотрим новий размер кода. Разница между новым и старым значение есть размер функции.

Для скорости выполнения. ставим брейкпойнт перед вызовом функции и после,запускаем симуляцию — обнуляем cycle counter,запуска ем симуляцию — и новое значение будеть скоростью выполнения (также можно увидеть сколько время исполняеться функция в мкс или мс).

Для IAR`a . Нужно включить опцию создания листинга программы. Project > Options > C/C++ Compiler > List галочка Output list file. Если включить еще и Assembler mnemonics в lst файле будет ассемблерный код, сгенерированный компилятором из твоей программы. Эта информация полезна для оптимизации сишного кода, конечно, если ты знаешь ассемблер.
Затем запускаешь компиляцию проекта и с левой стороны (в окне отображения структуры проекта) ищешь файлы с расширением *.lst Они будут созданы для каждого программного модуля. В конце этого файла есть табличка со списком функций и значениями занимаемой памяти.

Чтобы прикинуть скорость выполнения какого-нибудь куска кода (обычно функции), я прогоняю этот код в программном симуляторе IAR`a. Включаю опцию Project > Options > Linker > Debug Information . Запускаю компиляцию и отладку с помощью кнопки Debug (Ctrl+D). Устанавливаю брейкпоинты, открываю окно с регистрами микроконтроллер а (меню View > Register) и запускаю код на выполнение по шагам (F11) или непрерывно (f5). В окне регистров в разделе CPU Register есть строка CYCLES. Она отображает число прошедших тактов. По показаниям этого числа можно прикинуть сколько тактов занимает выполнение функции.

Читайте так же:
Можно ли подключить мышку к ps4

То же самое можно делать и в AVR Studio. Там это даже лучше получается, потому что студия моделирует прерывания, а IAR нет.

F = 8 MHz, ATmega8, optimization O0 (none):

размер 14 байт.
скорость 540 циклов — 67.5uS

F = 8 MHz, ATmega8, optimization Os (none):

размер 14 байт.
скорость 2 циклf — 0.25uS

Код которий тестировал:

unsigned int value = 0;

unsigned int isqrt(unsigned int x)
<
unsigned int m, y, b;
m = 0x4000;
y = 0;
while (m != 0)
<
b = y | m;
y = y >> 1;

int main(void)
<
asm(«nop»);
value = isqrt(4096);
asm(«nop»);

Пользовался детским алгоритмом, на мой взгляд достаточно быстр и достаточно компактный. Идея в том что от числа последовательно отнимаются все нечётные числа, и сколько вычитаний удалось сделать, таков и корень числа. Пример, число 49;
1) 49 — 1 = 48
2) 48 — 3 = 45
3) 45 — 5 = 40
4) 40 — 7 = 33
5) 33 — 9 = 24
6) 24 — 11 = 13
7) 13 — 13 = 0

7 циклов, корень числа 49 — 7.

И кстати при работе с МК типа AVR-ки лучше избегать делений, т.к. у AVR ядра нет аппаратного деления, а программное занимает дофига тактов. Другое дело ARM Cortex-M3 и выше, у которых деление выполняется за 2. 12 тактов.

У функции корня есть некоторые свойства симметрии, которые позволяют вычислять ее только на некотором отрезке, а потом решение распространить на всю ось. Например,
sqrt(a*2^16)=2^ 8*sqrt(a).

Удобно в качестве такого отрезка взять значения [2^30-2^31), потому что остальные значения можно свести к нему побитовым сдвигом и при этом не будет происходить потеря точности. Сначала вычисляем первый значащий бит (программно половинным делением или процессорной инструкцией, например на ARM это __clz). Потом сдвигаем входное число на это кличество бит и вычисляем корень, полученное значение сдвигаем обратно на в два раза меньшее количество).
Для вычисления корня на отрезке интерполируем его многочленом Лагранжа (параболой). Например, возьмем в качестве точек многочлена 2^30, 1,5 * 2^30, 2^31. Можно воспользоваться сторонним сервисом, и не возиться с вычислением коэффициентов. У меня получилась такая формула:
-x^2/499100218444523 + x/52370 + 14575
Очевидно, напрямую её использовать нельзя, потому что значения не влазят даже в диапазон целых. Но надо учесть, что нам важны только 16 бит результата, поэтому можно немного схитрить и вынести что-то за скобки.
(-x/9530269590 + 1) * x/52370 + 14575
(-x/145420 + 65536) * (x/65536) / 52370 + 14575
Ну и последнее — заменить деление на умножение. Допустим, у нас в резерве 30 бит числа. Мы хотим поделить некое число x, например, на 543. Вычисляем, в числе 543 есть 10 бит, в х 16 бит.
x / 543 * 2^26 / 2^26
x * (2^26 / 543) / 2^26
x * 123589 / 2^26
Теперь эти знания применяем к своему многочлену.
(-x/2^14 * 7384 / 2^16 + 2^16) * (x/2^16) / 2^16 * 20503 / 2^14 + 14575
Не ручаюсь за правильность коэффициентов, надо внимательно проверить.
Когда писал, не учел одну штуку, число бит может быть нечетным, отрезок надо брать больше.

Естественно, алгоритм будет быстро работать при наличии аппаратного умножения.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector