Wlancards.ru

ПК техника, WI FI Адаптеры
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Момент силы (примеры формула)

Что такое вращательное движение тела Момент силы Момент инерции

Движение, при котором все точки тела описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях, с центрами, расположенными на одной неподвижной прямой, называется вращательным движением тела.

Прямая О’О» (рис. 2, а) называется осью вращения. Угловая скорость для всех точек вращающегося тела одинакова, линейные скорости различны: чем дальше расположена точка от центра вращения, тем больше ее линейная скорость.

Для того чтобы вызвать вращение тела, к нему надо приложить силу F, которая:

  1. Действует в плоскости Р, перпендикулярной оси вращения.
  2. Не проходит через эту ось.
  3. Направлена под прямым углом к радиусу r, проведенному от оси вращения О’О» к точке приложения силы. При этом действие силы тем значительнее, чем дальше расположена точка ее приложения от оси вращения.

Это учитывается с помощью величины, называемой вращающим моментом или просто моментом силы.

Момент силы

Движение тела называется вращательным, если все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной прямой, называемой осью вращения.

Колеса всевозможных машин и механизмов могут вращаться вокруг неподвижной оси; пропеллер самолета, колодезный «журавль», дверь на петлях, откидная крышка школьной парты представляют собой примеры того же случая.

Если вначале тело покоится, то, чтобы вызвать вращение, необходимо подействовать на тело с некоторой силой. Однако не всякая приложенная сила вызовет вращение тела.

Силы, одинаковые по величине, но различные по направлению или приложенные в разных точках, могут вызвать весьма различные эффекты.

Оказывается, сила момента сейчас, действующая на тело, закрепленное на оси, только тогда может вызвать его вращение, когда направление силы не проходит через ось.

Сила, направленная параллельно оси вращения, также не вызывает вращение тела, а только стремится изогнуть ось.

От чего зависит действие силы

От чего зависит действие силы

Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между осью вращения и прямой, по которой действует сила.

Кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, по которой действует сила, называется плечом силы.

На рис. плечо силы обозначено буквой l. Величина, характеризующая вращающее действие силы, называется моментом силы и обозначается буквой М. Момент силы измеряется произведением силы на плечо (момент силы формула):

Момент силы — векторная величина. Направление вектора М определяется поступательным движением буравчика, расположенного вдоль оси вращения, если направление вращения его головки совпадает с направлением действующей силы.

В СИ за единицу момента силы принимается момент силы в один ньютон, имеющий плечо в один метр

Чтобы отличить моменты сил, создающих вращение в противоположные стороны, условились считать моменты сил, вращающих тело против часовой стрелки, положительными, а моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке,— отрицательными.

Момент силы, направленной вдоль прямой, проходящей через ось вращения, равен нулю (так как l = 0).

Чтобы получить нужный момент при наименьшем усилии, надо стараться приложить силу как можно дальше от оси вращения, увеличивая тем самым плечо силы и соответственно уменьшая величину силы.

Не случайно дверная ручка закреплена на наибольшем расстоянии от оси вращения

Момент силы относительно центра вращения

alt=»Момент силы относительно центра вращения» width=»200″ height=»76″ />Момент силы М относительно центра вращения в общем случае называют векторную величину, численно равную произведению силы F на длину d перпендикуляра, опущенного из центра вращения на направ ление силы, который называют плечом силы (рис. 2, б) (в нашем случае плечом силы F является радиус r, проведенный из центра вращения О к точке приложения силы — рис. 2, а).

Вектор М момента силы приложен к центру О окружности и направлен вдоль оси вращения в направлении, определяемом по «правилу буравчика».

Если под действием момента силы тело по отношению к наблюдателю вращается по часовой стрелке (рис. 2, а), то момент считается положительным, в противном случае — отрицательным.

Плечо силыЕсли на теле действует несколько моментов сил, то они складываются алгебраически (т. е. с учетом знака момента).

Для того чтобы тело, имеющее ось вращения, находилось в равновесии, алгебраическая сумма моментов, действующих на него, должна равняться нулю.

Инерция вращающегося тела

Аналогично тому как действие силы при вращательном движении за висит от плеча силы, так и инерция вращающегося тела зависит от располо жения его массы относительно оси вращения.

Чем дальше от оси вращения расположена масса тела, тем больше ее инерция. Это можно продемонстри ровать с помощью прибора, показанного на рис. 3. На стойке П укреплен блок Б с четырьмя стержнями, по которым могут передвигаться грузы М.

На блок намотана нить, на конце которой подвешена гиря Г. Натяжение нити создает на оси блока вращающий момент, постоянный по величине, под действием которого блок со стержнями приводится во вращение.

Читайте так же:
Можно ли поливать цветы чаем без сахара

Ускорение блока можно определить путем наблюдения времени, в течение которого гиря Г опускается на определенное расстояние, отмечаемое по шкале Ш. Это ускорение зависит от инерции блока.

Если грузы М расположены близко от оси вращения, блок имеет небольшую инерцию и гиря опускается очень быстро. Если передвинуть грузы к краям стержней в положение М’, то инерция блока увеличится и гиря будет опускаться заметно медленнее.

Как увеличить инерцию

Как увеличить инерциюДля того чтобы учитывать инерцию при вращательном движении тела, пользуются величиной, называемой моментом инерции.

Момент инерции j для тела достаточно малой массы m относительно оси, находящейся на расстоянии r от центра масс тела (рис. 4), численно равняется произведению этой массы на квадрат расстояния:

Напомним, что центром масс (или центром тяжести) тела называют точку, в которой может быть приложена равнодействующая силы тяжести всех отдельных частей тела.

Для тел сплошных, однородных, правильной геометрической формы центр масс совпадает с геометрическим центром.

Центр масс тела человека находится в сагиттальной плоскости несколько впереди второго крестцового позвонка.

Вычисление момента инерции

Для вычисления момента инерции какого-либо тела его разделяют на множество достаточно малых по массе элементов, для каждого из них вычисляют момент инерции j относительно заданной оси вращения и затем последние суммируют.

Момент инерции в системе СИ измеряется в кгм 2 , в СГС — гсм 2 . Моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы могут быть вычислены по известным формулам.

Например, для однородного цилиндра относительно продольной оси: J = (1/2) тr 2 , где т — масса иr — радиус цилиндра.

Для однородного шара с массой т и радиусом r момент инерции относительно оси, проходящей через центр шара:

J = (2/5) mr 2 .

Для тел неоднородных или сложной геометрической формы момент инерции обычно определяется опытным путем.

Если вращательное движение тела происходит равноускоренно, то оно характеризуется угловым и линейным ускорениями.

Угловое ускорение ε измеряется отношением изменения ∆ω угловой скорости за достаточно малый промежуток времени ∆t к этому промежутку:

Единицы измерения

Единицей измерения углового ускорения является рад/сек 2 или 1/ сек 2 .

Линейное ускорение а какой-либо точки тела равняется произведению углового ускорения ε на расстояние r точки от оси вращения:

а = εr = ( ∆ω/∆t)r.

Единица измерения в системе СГС см/сек 2 , в системе СИ м/сек 2 При равноускоренном вращательном движении угловое ускорение ε прямо пропорционально приложенному моменту силы М и обратно пропорционально моменту инерции J тела:

ε = M/J , откуда М = εJ = J ( ∆ω/∆t).

Эта зависимость выражает второй закон Ньютона применительно к вращательному движению и называется основным уравнением вращательного движения.

Определим кинетическую энергию Ек тела достаточно малой массы m, вращающегося равномерно с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси, находящейся на расстоянии г от центра масс тела. По общему правилу:

Eк = (mυ 2 )/2 = (m ω 2 r 2 )/2 = j(ω 2 /2)

Для вычисления кинетической энергии Ек вращающегося тела с массой М его надо разделить на множество достаточно малых по массе элементов, вычислить для каждого из них кинетическую энергию Ек и затем суммировать:

Eк = Е’к1 + Е’к2 + … = j1 (ω 2 /2) + j(ω 2 /2) + … = ω 2 /2(j1 + j2 + …) = J(ω 2 /2)

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равняется половине произведения момента инерции тела на квадрат его угловой скорости.

  • Вращательный момент — вращательный эффект силы, измеряемый в ньютонах на метр.
  • Инертность – свойство тела сопротивляться любой перемене в его равномерном движении.

Вы уже прочли определение момента инерции. Это свойство распределения массы в пространстве, измеряющее сопротивление массы вращательному ускорению вокруг линии или нескольких осей. Первый закон Ньютона характеризует инерцию объекта в линейном движении, поэтому его можно распространить и на инерцию объекта, совершающего обороты вокруг оси. То есть, если объект вращается с постоянной угловой скоростью, то продолжит этот процесс, пока не почувствует влияние от внешнего вращательного момента.

Выходит, что вращательный момент выполняет ту же функцию во вращательной динамике, что и масса в линейной: описывает связь угловых момента и скорости, а также вращательного момента и углового ускорения.

Момент инерции (I) определяется как сумма mr 2 для всех точечных масс. Математически выглядит как I = Σmr 2 . Здесь I соответствует m в поступательном движении.

Давайте взглянем на обруч с радиусом r. Он однородный, поэтому момент инерции можно найти через суммирование всей массы обруча и умножения на дистанцию от центра масс (ЦМ). Мы получим круг, где масса равномерна, поэтому момент инерции – mr 2 .

На момент инерции также влияет ось, вокруг которой совершается вращение. Обычно тела совершают обороты вокруг ЦМ, но это может происходить и вокруг оси. Если мы столкнулись со вторым вариантом, где ось выступает не ЦМ, то справиться поможет теорема о параллельной оси и ее формулой: Iцм + mr 2 , где r становится дистанцией между осями, а Iцм – момент инерции при вращении вокруг ЦМ.

Читайте так же:
Можно ли подключить airpods к android

Взаимосвязь между вращательным моментом, моментом инерции и угловым ускорением выливается в net τ = Iα или α = (net τ)/ I (net τ – общий вращательный момент). Подобные исходные моменты бывают положительными или отрицательными. Связь τ = Iα выступает аналогом для второго закона Ньютона.

Вы уже могли догадаться: чем больше вращательный момент, тем выше угловое ускорение. К примеру, чем сложнее человеку раскачивать карусель, тем медленнее он ее ускоряет. Главная связь состоит в том, что с ростом момента инерции падает угловое ускорение. Момент инерции основывается не только на массе тела, но и на ее распределении относительно оси вращения. Было бы намного легче ускорить карусель, если бы дети стояли ближе к оси, а не к краю.

Отец раскачивает карусель по краю и перпендикулярно ее радиусу, чтобы добиться максимального вращательного момента

В спорте

Часто, уменьшив или увеличив момент инерции, можно улучшить показатели в спорте. Высокий момент инерции поддерживает постоянную скорость вращения или помогает сохранить равновесие, даже если скорость равна нулю. Если скорость равна нулю, то человек или предмет просто не вращается. Малый момент инерции, наоборот, позволяет легко изменить скорость вращения. То есть, уменьшение момента инерции уменьшает количество энергии, необходимой для того, чтобы увеличить или уменьшить скорость вращения. Момент инерции настолько важен в спорте, что некоторые исследователи считают, что для упражнений, в которых используется несколько снарядов или спортивного инвентаря одинакового веса, но разных конфигураций, следует подбирать снаряды и инвентарь с близким моментом инерции. Это практикуется, например, в гольфе: некоторые считают, что если использовать клюшки с одинаковым моментом инерции, то это поможет спортсмену улучшить свинг, то есть основной удар по мячу. В других видах спорта спортсмены иногда, наоборот, выбирают инвентарь с разным моментом инерции, в зависимости от того, какого эффекта они хотят добиться, например как быстро им необходимо ударить мяч клюшкой, или битой. Некоторые используют спортивный инвентарь с высоким моментом инерции, чтобы увеличить силу и выносливость мышц, не добавляя веса к снаряду. Так, например, момент инерции бейсбольной биты влияет на то, какую скорость она придаст мячу.

Высокой момент инерции

Серфингист вытянул руки, чтобы увеличить момент инерции и тем самым улучшить равновесие на доске. Оаху, Гавайи.

В некоторых случаях, необходимо чтобы вращательное движение продолжалось и не останавливалось, несмотря на то, что силы, действующие на тело, противостоят этому движению. К примеру, гимнастам, танцорам, ныряльщикам или фигуристам, которые крутятся или переворачиваются на льду или в воздухе, необходимо продолжать это движение в течение определенного времени. Для этого они могут увеличить момент инерции, увеличив вес тела. Можно добиться этого, держа во время вращения грузы, которые потом отпускают или отбрасывают, когда такой большой момент инерции уже не нужен. Это не всегда целесообразно и может быть даже опасно, если груз отлетит не в ту сторону и нанесет повреждения или травмы. Два человека могут также взяться за руки во время вращения, соединив свой вес, а потом отпустить друг друга, когда им не нужно больше крутиться. Этот прием нередко используется в фигурном катании.

Вместо массы можно также увеличить радиус от центра вращения до точки, наиболее от него удаленной. Для этого можно вытянуть руки или ноги в стороны от туловища, или взять в руки длинный шест.

Спортсмену, например ныряльщику, может понадобиться увеличить момент инерции перед тем, как он входит в воду. Когда он крутится в воздухе и принимает правильное направление, он распрямляется, чтобы остановить вращение, и в то же время увеличить радиус и, соответственно, момент инерции. Таким образом, его нулевую скорость вращения труднее изменить, и спортсмен входит в воду под правильным углом. Такой прием используют также танцоры, гимнасты и фигуристы в время танцев и упражнений, чтобы после вращения в воздухе аккуратно приземлиться.

Как мы только что увидели, чем выше момент инерции — тем легче поддерживать постоянную скорость вращения, даже если она равна нулю, то есть тело находится в состоянии покоя. Это бывает нужно как для того, чтобы поддержать вращение, как и для поддержания равновесия в отсутствии вращения. Например, чтобы не упасть, акробаты, которые ходят по канату, часто держат в руках длинный шест, увеличивая тем самым радиус от центра вращения до самой отдаленной от него точки.

Момент инерции часто используют и в тяжелой атлетике. Вес дисков распределяется по штанге, чтобы обеспечить безопасность во время упражнений по поднятию штанги. Если вместо штанги поднимать предмет меньшего размера, но одинакового со штангой веса, например мешок с песком или гирю, то даже совсем небольшое смещение угла подъема может быть опасным. Если спортсмен толкает гирю вверх, но под углом, то она может начать вращаться вокруг своей оси. Большой вес и маленький радиус гири означает, что, по сравнению со штангой того же веса, ее намного легче начать вращать. Поэтому если она начнет вращаться вокруг своей оси, ее очень трудно остановить. Спортсмену легко потерять контроль над гирей и уронить ее. Это особенно опасно, если спортсмен поднимает гирю над головой стоя, или над грудью лежа. Даже если гиря не упадет, спортсмен может повредить кисти рук, пытаясь предотвратить вращение и падение. То же самое может произойти при упражнениях с особо тяжелой штангой, поэтому крепление дисков у штанг, предназначенных для упражнений с очень большим весом — подвижно. Диски прокручиваются вокруг своей оси во время подъема штанги, а сама штанга остается неподвижной. Штанги, предназначенные для Олимпийских игр, которые так и называются, олимпийскими штангами, имеют именно такую конструкцию.

Читайте так же:
Можно ли перевести деньги на киви кошелек

Для обеспечения безопасности во время тренировок с гирями обычно смещают центр вращения как можно дальше от центра гири. Чаще всего новый центр вращения — на теле спортсмена, например в районе плеча. То есть, обычно гирю не вращают с помощью кисти руки или вокруг локтевого сустава. Ее, наоборот, качают из стороны в сторону или вверх и вниз вокруг туловища, иначе работа с ней опасна.

Низкий момент инерции

Фигуристка прижимает руки к туловищу, чтобы увеличить момент инерции. При этом ее скорость вращения увеличивается.

В спорте нередко бывает нужно увеличить или уменьшить скорость вращения, используя как можно меньше энергии. Для этого спортсмены выбирают снаряды и инвентарь с малым моментом инерции, или уменьшают момент инерции своего тела.

В некоторых случаях важен общий момент инерции тела спортсмена. В этой ситуации спортсмены прижимают руки и ноги к туловищу, чтобы уменьшить момент инерции во время вращения. Это позволяет им ускорить движение и вращаться быстрее. Такой прием используют в фигурном катании, нырянии, гимнастике и в танцах. Чтобы испытать на себе этот эффект не обязательно заниматься одним из этих видов спорта, достаточно просто сесть в офисное кресло, раскрутить сидение, выставив руки и ноги, а потом прижать руки и ноги к корпусу. При этом скорость вращения увеличится.

Момент инерции очень важен во время вращения спортивного инвентаря. Чем ниже момент инерции инвентаря, тем быстрее можно его вращать. Это дает спортсменам дополнительное время, чтобы следить за противниками, и часто это помогает сделать более точный размах или удар.

В других видах спорта вращается не все тело спортсмена, а только его часть, например рука битой или клюшкой для гольфа. В этом случае вес распределен по бите или клюшке так, чтобы увеличить момент инерции. Это важно также для мечей, как настоящих, так и деревянных мечей для тренировок в восточных единоборствах, да и для любых других снарядов, которые спортсмены крутят или вращают, включая мячи для боулинга. Момент инерции влияет также на то, каким тяжелым кажется инвентарь во время его использования и насколько много затрачивается энергии на изменение его скорости вращения. Чем меньше момент инерции — тем обычно легче кажется инвентарь, и тем быстрее его можно вращать. Это позволяет спортсмену больше времени наблюдать за противником перед тем, как начать движение. Иногда это дополнительное время дает преимущество в спортивных играх, так как спортсмен может быстрее реагировать на движения противника. За эти дополнительные секунды становится проще предсказать траекторию движения противника, или мяча, например в теннисе и бейсболе, и сделать более точный удар.

Следует помнить, что при одинаковой скорости вращения биты, та, у которой более высокий момент инерции передаст при ударе большую скорость мячу, хоть и вращать эту биту нужно с затратой большего количества энергии. Поэтому снаряд с низким моментом инерции не обязательно лучше — в некоторых случаях спортсмены, наоборот, отдают предпочтение снарядам с высоким моментом инерции. Такие снаряды развивают мышцы, что помогает, в свою очередь, ускорить реакцию.

На клюшках для гольфа и теннисных ракетках обычно указана информация об их моменте инерции, а на бейсбольных битах ее чаще всего не пишут. Почему это так — неизвестно, хотя вероятно это связано с маркетингом в спорте. В любом случае, если информации о моменте инерции спортивного снаряда нет, то стоит перед покупкой хорошо испробовать этот снаряд, и сравнить с несколькими другими, чтобы определить, подходит ли он вам для ваших целей.

Розмеры прямоугольного сечения – b*h
Осевые моменты инерции
$J_x = $
$J_y = $
Полярный момент инерции прямоугольного сечения
$J_p = *(h^2-b^2) $

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Читайте так же:
Можно ли удалить вирусы из карантина

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

момент инерции для чайников

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Вычисление момента инерции автомобиля

Для простейших вычислений с использованием ньютоновской механики полагается, что масса транспортного средства сосредоточена в его центре тяжести. Это предположение правильно для центральных или для близких к нему ударов, когда линия силы удара проходит через центр тяжести автомобиля или близко к нему. Когда столкновение автомобилей имеют эксцентричный характер, с последующим вращением в результате удара, что является наиболее распространенным случаем ДТП, то простая модель центрального удара является неадекватной, и в таких случаях должно быть учтено распределение массы автомобиля относительно его центра тяжести.

Сопротивление объекта вращению прямо зависит от массы объекта и расположения этой массы по отношению к центру вращения, или от его момента инерции. Идеализированное транспортное средство может рассматриваться твердая однородная плита массойm (в килограммах) с длиной a (в метрах) и шириной b (в метрах). Тогда момент инерции этой однородной плиты относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр тяжести, находится по формуле (в кг*м 2 ):

Реальное транспортное средство – это не однородная плита. Оно имеет такие концентрированные массы, как, например, двигатель, трансмиссия, элементы подвески. Поэтому фактический момент инерции автомобиля всегда меньше момента инерции однородной плиты тех же геометрических размеров и массы.

Из специальной литературы известно несколько попыток предложить универсальный способ расчета момента инерции автомобиля в виде соотношения, связывающего массу автомобиля, его геометрические размеры и расположение центра тяжести. Однако все подобные исследования были произведены до 1997 года, и, в связи с изменяющимися стандартами и тенденциями развития автомобилестроения, результаты таких исследований быстро устаревают.

С целью получения актуальной информации из базы данных DSD, входящей в специальную компьютерную программу PC-Crash, была произведена выборка 73 наиболее распространенных в России моделей автомобилей 2009-2014 годов. Выборка производилась произвольно, для каждого производителя в выборку не включались автомобили сходных по габаритам и массе моделей. В таблицах ниже для каждой модели из выборки указаны наименование, масса снаряженного автомобиля, габаритная длина, габаритная ширина, расчетное значение момента инерции по приведенной выше формуле для однородной плиты, фактическое значение момента инерции, превышение расчетного значения момента инерции над фактическим в процентах.

Автомобили особо малого класса «A»


Автомобили малого класса «B»


Автомобили малого среднего класса «С»


Автомобили среднего класса «D»


Автомобили бизнес-класса «E»


Автомобили представительского класса «F»


Как видно из представленной выборки, расчетное значение момента инерции превышает его фактическое от 16% до 34%. Следовательно, можно ожидать, что аппроксимация линейной зависимостью значения фактического момента инерции как функции расчетного значения момента инерции даст приемлемые для использования результаты.

На графике на рисунке ниже ось абсцисс – расчетный момент инерции, ось ординат –фактический момент инерции, точками показаны фактические данные из таблиц выше. Методом наименьших квадратов была получена линейная зависимость фактического значения момента инерции от расчетного значения в виде

которая показана на рисунке ниже в виде сплошной прямой. Пунктиром показаны линии превышения момента инерции на плюс-минус 10%.

Видно, что на графике выше все фактические точки лежат в приемлемой области возможной погрешности значения момента инерции плюс-минус 10%.

Таким образом, с погрешностью не более 10% момент инерции автомобиля относительно вертикальной оси, проходящей через его центр тяжести, может быть определен по графику выше или рассчитан по формуле

где m – масса снаряженного автомобиля, a – длина автомобиля, b – ширина автомобиля.

Для учета загрузки автомобиля водителем, пассажирами и грузом, согласно теореме Гюйгенса, для каждого из них можно прибавить к полученной величине момента инерции снаряженного автомобиля значение произведения массы каждого объекта на квадрат расстояния от центра тяжести этого объекта до центра тяжести автомобиля.

Геометрические характеристики составного сечения. Расчет в Excel.

В статье «Как найти центр тяжести?» мы рассматривали в качестве примера составную фигуру, состоящую из треугольника и прямоугольника с вырезом в виде полукруга. Продолжим работу с этим примером. Хотя балку, имеющую столь причудливое сечение, на практике нигде и никогда, наверное, не встретишь, для не очень сложного и наглядного примера она нам подойдет!

Читайте так же:
Можно ли официально устроиться без военного билета

Чертеж составного сечения с эллипсом инерции

Запускаем программу MS Excel или программу OOo Calc, и начинаем работу!

С общими правилами форматирования электронных таблиц, применяемыми в статьях блога, можно ознакомиться здесь.

Из вышеупомянутой статьи мы уже знаем координаты центров тяжести, площади элементов сечения и площадь всего составного сечения. В этой статье продолжим начатую работу, и выполним расчет других геометрических характеристик.

Исходные данные:

Пункты 1 , 2 , 3 копируем из файла raschet-tsentra-tyazhesti и заполняем диапазон ячеек D3:F6.

4. Рассчитаем осевые и центробежные моменты инерции элементов относительно собственных центральных осей Ixi , Iyi , Ixiyi в см4, воспользовавшись формулами из «Справочника конструктора-машиностроителя» В.И. Анурьева

в ячейке D7: =80*40^3/12/10000 =42,667

Ix1 = a 1 *( b1 ^3)/12

в ячейке D8: =40*80^3/12/10000 =170,667

Iy1 = b1 *( a1 ^3)/12

в ячейке D9: =0 =0,000

Ix1y1 = (элемент с осевой симметрией)

в ячейке E7: =24*42^3/36/10000 =4,939

Ix2 = a 2 *( h 2 ^3)/36

в ячейке E8: =42*24^3/48/10000 =1,210

Iy2 = h 2 *( a 2 ^3)/48

в ячейке E9: =0 =0,000

Ix2y2 = (элемент с осевой симметрией)

в ячейке F7: =- (ПИ()/8*26^4-8/9/ПИ()*26^4)/10000 =-5,016

Ix3 =- (π/8)*( r 3 ^4) — (8/(9*π))*( r 3 ^4)

в ячейке F8: =-ПИ()/8*26^4/10000 =-17,945

Iy3 =- (π/8)*( r 3 ^4)

в ячейке F9: =0 =0,000

Ix3y3 = (элемент с осевой симметрией)

Осевые моменты инерции третьего элемента – полукруга – отрицательны потому, что это вырез в прямоугольнике – пустое место!

Моменты инерции сечения и другие характеристики в программе расчета в Excel

Расчет геометрических характеристик:

Пункты 5 , 6 , 7 копируем из файла raschet-tsentra-tyazhesti и заполняем объединенные ячейки D11E11F11…D15E15F15.

8. Рассчитаем осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей x0 и y0, проведенных через центр тяжести Ix , Iy , Ixy в см4

в объединенной ячейке D16E16F16: =((D5-D15)^2*D6+(E5-D15)^2*E6+(F5-D15)^2*F6)/10000+D7+E7+F7 =90,122

Ix =Σ(( yci Yc )^2* Fi )+Σ Ixi

в объединенной ячейке D17E17F17: =((D4-D14)^2*D6+(E4-D14)^2*E6+(F4-D14)^2*F6)/10000+D8+E8+F8 =159,678

Iy =Σ(( xci Xc )^2* Fi )+Σ Iyi

в объединенной ячейке D18E18F18: =((D5-D15)*(D4-D14)*D6+(E5-D15)*(E4-D14)*E6+(F5-D15)*(F4-D14)*F6)/10000+D9+E9+F9 =-50,372

Ix0y0 =Σ(( yci — Yc )*( xci — Xc )* Fi )+Σ Ixiyi

9. Вычислим главные центральные моменты инерции сечения Iv и Iu в cм4

в объединенной ячейке D19E19F19: =($D$16+$D$17)/2+((($D$16-$D$17)/2)^2+$D$18^2)^0,5 =186,111

Iv =( Ix0 + Iy0 )/2+((( Ix0 — Iy0 )/2)^2+ Ix0y0 ^2)^0,5

в объединенной ячейке D20E20F20: =($D$16+$D$17)/2- ((($D$16-$D$17)/2)^2+$D$18^2)^0,5 =63,689

Iu =( Ix0 + Iy0 )/2- ((( Ix0 — Iy0 )/2)^2+ Ix0y0 ^2)^0,5

10. Найдем угол наклона главной оси v к центральной оси x0 α в градусах

в объединенной ячейке D21E21F21: =ATAN (D18/(D20-D16))/ПИ()*180 =62,311

α =arctg ( Ix0y0 /( Iu — Ix0 ))

11. И в заключении вычислим радиусы инерции составного сечения iv и iu в мм

в объединенной ячейке D22E22F22: =(D19*10000/D11)^0,5 =26,540

iv =( Iv / F 0 )^0,5

в объединенной ячейке D23E23F23: =(D20*10000/D11)^0,5 =15,526

iu =( Iu / F 0 )^0,5

Задача выполнена – вычислены моменты инерции и радиусы инерции составного сечения из трех простых элементов! Получены все необходимые данные для построения эллипса инерции.

Файл Excel с расчетной программой позволяет легко выполнить полный расчет геометрических характеристик поперечного сечения балки, состоящего из двух или трех простых элементов. При необходимости несложно расширить возможности расчетного модуля до большего количества элементов.

Для получения информации о новых статьях и для скачивания рабочих файлов программ прошу Вас подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.

Не забывайте подтвердить подписку кликом по ссылке в письме, которое тут же придет к вам на указанную почту (может прийти в папку «Спам»).

С интересом прочту ваши комментарии, уважаемые читатели. Поделитесь своими мыслями!

Прошу уважающих труд автора скачивать файл с программой расчета после подписки на анонсы статей!

Тензор инерции и эллипсоид инерции [ | ]

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора J ^ >> :

где Q ^ >>  — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины J X , J Y , J Z ,J_,J_>  — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на I s >

и произведя замены:

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах ξ η ζ :

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector